Алгебры Ли. Алгебры Ли векторных полей. Группы преобразований и их алгебры Ли.
Группы Ли (абстрактное определение). Группы Ли как группы преобразований.
Лево- и право- инвариантные векторные поля на группе. Симметрии физических систем
(вращения, группы Лоренца и Пуанкаре, релятивистская инвариантность,
группа симметрии пространства анти де Ситтера, конформная симметрия, внутренние симметрии).
Векторные расслоения. Сечение расслоения. Структурная группа векторного расслоения.
Главное расслоение, ассоциированное с векторным.
Касательное расслоение и кокасательное расслоение, расслоение локальных реперов. Операции с расслоениями.
Тензорные поля как сечения соответствующих расслоений. Тривиальные и нетривиальные расслоения.
Связность в векторном (главном) расслоении. Форма связности.
Кривизна. Уравнение Маурера-Картана, параллельный перенос. Поля Янга-Миллса.
Калибровочные преобразования. Физические приложения
(переход от глобальной внутренней симметрии к калибровочной, "удлинение производных").
Инварианты калибровочных преобразований, действие Янга-Миллса.
Интегрирование на многообразиях. Формы объема. Теорема Стокса. Плотности и полуплотности.
Формы объема на римановых и симплектических многообразиях. Форма Лиувилля.
Действия динамических систем на общих многообразиях. Действие Черна-Саймонса и других топологических моделей.
